和倍、差倍问题
种花和种瓜 苹果和梨
姐姐王小华， 一篮苹果一篮梨，
弟弟王小瓜， 两篮相差二十一.
姐姐小华栽花， 四篮苹果换篮梨，
弟弟小瓜种瓜. 数量才是一样的.
小华每栽三棵花， 聪明一休请算算，
小瓜就种一棵瓜， 多少苹果多少梨？
两人共种八十八.
请你算算：
小华栽了多少花？
小瓜种了多少瓜？
同学们，你们可知这两首绕口令似的儿歌，分别包含着什么数学问题吗？如略去其趣味化的情节，就分别改编为“和倍”与“差倍”问题的应用题了.
小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？
一篮苹果比一篮梨少21个，梨的数量是苹果的4倍.苹果和梨各多少个？
类似问题12.1，已知几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求这几个数的问题称为和倍问题.
类似问题12.2，已知几个数的差，及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.
解答基本的(只含两数间关系)和倍、差倍问题，先确定其中一数(通常定较小数比较方便)作为标准数(1倍数)，再找出两数的和(或差)，及与其相对应的倍数关系，这样就可以求出这个标准数，随之即可求出另一数(较大数).
对应关系：
较小数？──1倍，
较大数？──几倍，
(和) (和)
两数──倍数
(差) (差)
数量关系式：
较小数×倍数＝较大数，
或者
问题12.1、问题12.2的分析与题解如下：
问题12.1
对应关系：种瓜的棵数？——1倍
栽花的棵数？——3倍
棵数和88棵——(3＋1)倍
解 88÷(3＋1)＝22(棵)，
22×3＝66(棵).
答：小华栽花66棵，小瓜种瓜22棵.
问题12.2
对应关系：苹果的数量？——1倍
梨的数量？——4倍
数量差21个——(4—1)倍
解 21÷(4－1)＝7(个)，
7×4＝28(个).
答：一篮苹果7个，一篮梨28个.
和倍、差倍问题，及小学数学课本中的几倍求和、几倍求差问题，是可以相互沟通的.同学们可以试举一例，找一找它们之间的区别和联系.
开各版本“数学竞赛题集”，和倍、差倍问题类，实在变化多端，令人眼花瞭乱.其实，都是编题者从此类问题基本数量关系出发，综合运用不同的数学知识点，经情节性、扩展性或逆向性变换精心编制的.无论数学题的复杂程度如何，分析数量关系时，我们可以运用“变换”与“对应”的数学思想，善于抓住题中几个数的“和”或“差”，及其对应的倍数关系的直接或间接表述的语句，且借助于线段分析图或对应关系式，便可剥“伪”装，识“基本”，还其庐山真面目，解题也将化难为易了.
1.变换表述语
甲数是乙数的10倍，两数相差72，求这两数.
大数比小数多72，把大数个位上的0去掉，则与小数同样多，大、小数各是多少？
一个数的小数点向左移动一位，比原数小72，原数是多少？
提示：仔细观察各题“差”与“倍”的表述是怎样变换的？实质一样吗？你可根据“相差数”的概念，数位上的数的意义及小数点移动规律的有关知识，认识该组题的联系与区别.请自己解题.
2.隐蔽性表述
两数相除，商3余4；被除数、除数、商及余数的和是43.求被除数和除数.
提示：根据被除数＋除数＝四数之和－(商＋余数)这一关系式，你知道：被除数与除数的和是多少？两数间的倍数关系是多少？
在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角的2倍，顶角和底角各多少度？
提示：求顶角和底角的度数，那它们的度数和是多少？根据是什么？
3.增加情节
45人.男、女队员各多少人？
分析 该组题间的联系是什么？仅增加情节，变文字题为应用题.
那么女队员人数就是2份，男队员人数就是3份.进而可知，男队员人数比女队员多(3－2)份.
解 45÷(3—2)＝45(人)，
45×2＝90(人)，
45×3＝135(人).
答：男队员有135人，女队员有90人.
4.变换情节
一块长方形的地，长是宽的2倍，周长是108米，它的面积是多少平方米？
两个物体的平均重量是27千克，甲物体重量是乙物体重量的2倍，两物体各重多少千克？
修一条1.08千米长的隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，20天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的2倍，甲、乙两队每天各开凿多少米？
观察与思考：
以上三道题的数量关系是否一样？是一样的，仅“和”间接告诉而已.两量之和均为“54”.你知道是怎样分别求得的吗？
以上三道题的变化是什么？数量关系一致，只是题目内容运用的数学知识点不同.
你能运用你所学的有关数学内容，自编几道和倍、差倍数学题吗？
问题11.10、 11.11、 11. 12留给同学们自己去解答.
5.扩展情节
问题12.13 甲水池有水100立方米，乙水池有水20立方米.现在以每分钟15立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体积是甲池水的2倍，需抽多少分钟？
引导你思考：
(l)说出该题综合算式每步的意义：
［(100＋200)÷(2＋1)×2－20］÷15
(2)根据综合算式的前三步，你知道该题的主要情节是什么？现叙述如下：
甲、乙两池水共120立方米.乙水池水的体积是甲池水的2倍，乙池有水多少立方米？
(3)现在你明白了该题的情节是怎样扩展的吗？
解答复杂的数学问题，关键应抓住基本情节.在此基础上，理清其情节的发展与变化.这样，你就不会在复杂问题面前束手无策了.
6.增加数量关系
今年爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄比小强多9倍，比爸爸大35岁.小强今年几岁？
分析 该题虽然含三数间的数量关系，但仍可以小强的年龄为1倍数.题中已告诉两数间相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄是小强的(9＋1)倍.那么可知，爷爷的年龄比爸爸多
［(9＋1)－5］倍.
请你列综合算式解答.
三个同学共挖了一条长20米的排水沟.乙同学再多挖1米，将是甲同学挖的长度的2倍，甲同学比丙同学少挖5米，三个同学各挖几米？
分析 据题意，乙、丙同学挖渠沟的米数都与甲有直接的数量关系，所以应以甲挖的米数作1倍数.那么，乙挖的米数加上1米就是甲的2倍；同理，丙挖的米数减去5米就与甲同样多.经转化，你能填写如下对应关系吗？
甲挖的米数？──( )倍，
乙挖的米数？──( )倍，
丙挖的米数？──( )倍，
三量之和( )──( )倍.
现在，你列式并解答该题没问题了吧？请试一试！
同学们，学会掌握“变换”与“对应”的数学思维方法，可以提高你们对数学问题的观察、分析能力.如能灵活选择，或综合运用其它的数学思维方法，那么，你一定会在浩渺繁纷的数学题海中，尽情地遨游.
练 习12
1.10元一张与5元一张的钱共175元，10元的张数是5元张数的3倍.求两种票面额的钱各有多少元？
2.有两根绳子，长的比短的长1倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那长的一根就比短的一根长两倍.问这两根绳子原来的长各是多少？
3.机床厂原有专用机床108台，普通机床60台，如果把专用机床数调整到普通机床的5倍，应将多少台普通机床改为专用机床？
4.甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人？
5.水果商店有5筐等重量的苹果，如果从每筐里取出30千克，5筐里剩下的苹果重量正好等于原来两筐苹果的重量.原来每个筐里苹果重多少千克？
6.甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数是丙数的3倍少2，求三数.