例1 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．

(1)正方形周长p和一边的长a．

(2)圆的面积A与半径R．

(3)长a一定时矩形面积y与宽x．

(4)买15斤梨售价20元．售价y与斤数x．

(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．

(6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．

分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．

解：(1)∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项所以也是正比例函数．

(2)A=πR2，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．

(3)y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．

也是正比例函数．

(5)y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．∴y是x的一次函数但不是正比例函数．

(6)M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．

说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围．

(1)中正方形边长a＞0．

(3)中矩形的宽0＜x＜a．

(4)中梨的斤数x≥0．

(5)所存月数x≥0．

当b＞a时与水库可存水量有关．

　

例2 某工厂有煤m吨，每天烧煤n吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？

分析：设烧煤x天后余煤y吨，则可建立函数关系式y=m-nx．又知当x=3时，y=102；x=8时，y=72．从而组成方程组

求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．

解：设烧煤x天后余煤y吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是

y=m-nx

由题意知x=3时y=102，x=8时y=72，可得

从而求出n=6，m=120．

所以函数关系式是y=120-6x(0＜x≤20)

当x=15时，y=120-6×15=30

答：烧煤15天后余煤30吨．

说明：列方程可以解应用题，利用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实际问题．

　

例3

数．

分析：解答此题，只要依据正比例函数的定义，即自变量的系数不为零，自变量的次数为1，列出方程和不等式，就可解出m的值．

解：设正比例函数为y=kx(k≠0)，

∵正比例函数k≠0，x的指数为1．

∴m2+2m≠0，解得m1≠0，m2≠-2，

且m2+m-1=1，

解得m3=-2，m4=1．

∴当m=1时，为正比例函数．

说明：一个函数要符合正比例函数的定义，不能只考虑m2+m-1=1而且要考虑m2+2m≠0，所以m=-2时虽然能使x的指数为1，但系数变为零就不是一次函数了．

　

例4

计算当x=8时，y的值．

分析：根据题意，列出两个正比例函数y1与y2的解析式，然后再将y1、y2代入y与y1和y2的关系式中，通过解方程组即可求出函数y1及y2的待定系数．

解：

y2=k2x2(k2≠0)

解方程组，得

当x=8时

说明：此例题中，y1和y2表示两个不同的正比例函数，因此x的系数必须用k1和k2两个不同的非零实数表示．

求k1、k2的值，用的是待定系数法．

　

例5 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7．

(1)求y与x之间的函数关系式．

(2)求当x=2时y的值．

(3)求当y=-3时x的值．

分析：y-3与x成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0)

解：(1)∵(y-3)是x的正比例函数

∴设y-3=kx(k≠0)

把x=2时y=7代入上式得k=2

∴y与x的函数关系式为y=2x+3

y是x的一次函数

(2)当x=2时，y=2×2+3=7

(3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3

说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设成y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．

　

例6 已知y+p与x-q成正比例(其中p、q是常数)

(1)求证y是x的一次函数．

(2)如果x=-1时，y=-15；x=7时，y=1，求这个一次函数的解析式

分析： 要证明y是x的一次函数，只需证明y与x的关系式是y=kx+b的形式，其中k、b为常数，且k≠0．

证明： (1)∵y+p与x-q成正比例，则

y+p=k(x-q)(k为非零常数)

整理，得y=kx-(kq+p)

∵k、p、q均为常数，

∴-(kq+P)也是常数，且k≠0

∴y是x的一次函数．

解： (2)∵y是x的一次函数，设y=kx+b(k≠0)．将x=-1，y=-15；x=7，y=1代入，得

∴一次函数的解析式为y=2x-13．

说明：①用整体观点看变量，(x+p)、(x-q)各是一个变量．②求解析式时把-(kq+p)当一个常数处理．

　

2．一次函数图象和性质

　

例1

象限，求m的值及函数解析式．

分析：与y=kx(k≠0)相比较，则m-2≠0且m2-2m-14=1．从而建立关于m的方程．又由正比例的性质和已知，有m-2＜0，最后求出m．

解：

由此得m=-3，m=5

又已知它的图象通过第二、四象限

所以m-2＜0

得m=-3合适m=5应舍去

函数的解析式为y=-3x

说明：在确定函数解析式中系数时要根据函数的概念，有时还要根据函数性质，在求正比例函数y=kx时一定要使x的次数为1且k≠0，还要根据图象或性质确定k为正或负，图象过一、三象限k为正，图象过二、四象限k为负，y随x的增大而增大k为正，y随x的增大而减小k为负．

　

例2 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式且画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y的值；(2)当y=2时x的值；(3)图 象与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；(4)当x为何值时y＞0．y=0，y＜0；(5)当-1＜x≤4时y的取值范围；(6)当-1≤y＜4时x 的取值范围；(7)求△AOB的

　

分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．

解：

列表：

描点连线得图象

(2)当y=2时，x=2；

(3)A(6，0)、B(0，3)；

(4)x＜6时，y＞0；x=6时，y=0；x＞6时，y＜0；

(6)当-1≤y＜4时，-2＜x≤8；

说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x值可求y的值；(2)已知y的值可求x的值；(3)已知x的变化范围可求y的变化范围，反之也可求．

程、不等式三者是紧密联系的．

　

例3 一次函数y=-kx-k的图象大致是 [ ]

分析：一次函数y=kx+b，对于y=kx-k即b=-k所以k与b互为相反数，由定义知k≠0图象不过原点．

解：∵b=-k，k与-k是互为相反数且k≠0

∵(A)中正比例函数图象b=0，不合要求

说明：

k＞0时一次函数的图象从左至右是向上的即y的值随x值的增大而增大，k＜0时相反．

b＞0时一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，b＜0时在下方．

一般情况下要判断一次函数图象的大致情况就是根据k、b的正负．

　

例4 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k、b的情况：

分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方来决定b的正负．

正比例函数过原点b=0．

解：图(1)中k＞0，b=0；图(2)中k＜0，b=0；图(3)中k＜0，b＞0；图(4)中k＜0，b＜0．

　

例5 已知两条直线y1=2x-3和y2=5-x．

(1)在同一坐标系内作出它们的图象；

(2)求出它们的交点A的坐标；

(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积．

分析：作一次函数的图象，只需描出图象上两个点，过这两点的直线就是，一般情况下两点可选直线与坐标轴的交点．

求两直线交点的坐标可从图象上求，但为精确起见常用解方程组的方法求得．

解：(1)列表：

函数图象：

(2)因为A点同时在两条直线上，所以A点坐标同时满足这两个函数的解析式，即A点坐标就是方程组

与x轴交于C点，则C(5，0)．

说明：求两条直线与x轴(y轴)所围成三角形的面积可用两直线分别与x轴(y轴)交点坐标差的绝对值为底边长，用两直线交点的纵坐标的绝对值(横坐标的绝对值)为高即可求得．

　

例6 k在为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限．

分析：此 题中已知两直线的交点在第四象限，实际上就是知道两个一次函数图象交点在第四象限，因此如何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解 此题的关键．另外因为涉及待定系数k的值，所以要先求它们的交点，其中交点的坐标是可以用待定系数来表示，最后再确定第四象限的点的坐标满足的条件．

解：∵已知两个一次函数有交点

解关于x，y的二元一次方程组，得

∵它们交点在第四象限，

∴x＞0，y＜0

　

例7 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

分析：要 确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵 坐标的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MON的面积转化为M点的纵坐标

解：根据题意画示意图，过点M作MC⊥ON于C

∵点N的坐标为(-6，0)

∴|ON|=6

∴MC=5

∵点M在第二象限

∴点M的纵坐标y=5

∴点M的坐标为(-4，5)

∵一次函数解析式为y=k1x+b

正比例函数解析式为y=k2x

直线y=k1x+b经过(-6，0)

∵正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，

　

例8 在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐 标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．

分析：根据题意画出示意图

因 为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可．点P的 位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其二在O，B之间，如果P点在OB之外，则不满足四边形ABPC的条件，所以点P只能在O，B之间，所以S=S△AOB-S△COP，故只要求出两个三角形面积即可．

解：∵一次函数在y轴上交点B的坐标是(0，5)

根据题意：得A(10，0)

∴OB=5，OA=10

∵点C坐标为(6，0)，点P坐标是(0，y)

∴OC=6，OP=y

∵S=S△AOB-S△COP

∴S=25-3y

即S=-3y+25

∵点P在O与B之间

∴自变量y的取值范围是0＜y＜5

∴当∠PCO=30°时，在Rt△COP中

说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合．

　

例9 已知一次函数y=kx+b的图象经过第一象限的点P，且与y轴

分析：一次函数的图象过P、Q两点，求出P、Q的坐标就可以求出函数的解析式，又因OP已知∠α也已知P点坐标可求，再利用△POQ面积可求Q点坐标．

解：设点P的坐标为(x1，y1)，

由已知，x1＞0，y1＞0，

解得x1=1(舍去负根)，

根据题意，有

整理，得

2b2-3b-2=0，

说明：

有不少学生不会建立点P的坐标P(x1，y1)，即使建立，也得不

错误发生的原因，对直角坐标系及点的坐标没有深刻的认识，对倾斜角α的含意不十分清楚，另外遇到图中的钝角三角形，运用面积公式

纠正错误的办法，给学生渗透一些解析几何的知识，如直线方程、倾斜角、斜率等有关概念．一次函数在解析几何中叫直线方程，其表达式y=kx+b，k即为倾角的正切，倾角的正切即为斜率．这样，学生能对问题的本质更深入理解．

　

例10 已知如图1，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为直径，⊙O＇和⊙O内切于点A，与AB，AC分别交于点D，E，AB=8，AC=6，设BD=x，DE=y．

求：(1)y与x间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

(2)求当⊙O＇与BC相切时y的值．

分析：两圆内切有一条公切线，一个公共的弦切角要建立x、y的关系，常利用几何性质列出含x、y的比例式．

(1)过点A作⊙O和⊙O＇的公切线AT，A为切点．

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC=Rt∠．

∵AB=8，AC=6，

又∠BAT=∠DEA=∠BCA，

∴DE∥BC，

(2)当⊙O＇与BC相切于F时，如图2，连结AF，

∴∠TAF=∠BFA，

即∠BAT+∠BAF=∠BCA+

∠FAC．

∵∠BAT=∠BCA，

∴∠BAF=∠FAC，

∵BF切⊙O＇于F，BA为⊙O＇的割线，

∴BF2=BD·BA，

说明：有部分学生对两圆内切在本题的情况下，两个圆有同一的切线，同一的弦没有分辨出来，因而没有发现“弦切角等于同弧所对的圆周角．”对大圆、小圆均如此，列不出比例式，也有的学生因不会使用圆幂定理而解题失败．

错误产生的原因，对两个圆或者两个以上的圆，组合起来建立新的题型，由于创造思维、发散思维没有建立起来“顾了东边顾不了西边”而发生错误，有不少学生对单一圆的问题解决尚感困难，何况两个圆的综合题了．

纠正错误的办法，加强圆的内切、圆的外切同类题型的学习．在平面几何中，圆最后学习，临近中考，各科都紧张，应该边讲圆边复习，把常见圆的习题归总在一起，突出重点难点．

在课外提高题．

　

例11 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，1为半径作圆与x轴交于A，C两点，与y轴交于B，D两点，点P在BD上，CP的延长线交⊙O于E，且S△AEC＝3S△COP．求CP所在直线的函数解析式．

分析：要求CP所在直线的函数解析式，只需求出C、P两点坐标，而C是(－1，0)所以只需求出P点纵坐标，利用相似三角形可求出OP的长，要注意P点还可能在OD上．

解：设P点坐标为(0，y)．

∵AC为直径．

∴∠AEC＝Rt∠，

在△AEC和△POC中，

∵∠C为公共角，

∠AEC＝∠POC＝Rt∠，

∴△AEC∽△POC，

∵AC＝2

　

在Rt△POC中，由勾股定理，得

设CP所在直线的函数解析式为y＝kx＋b．

∵CP过C(－1，0)点，将P，C两点坐标代入上式，得所求函数解析式为

说明：有不少学生忘记“面积的相似比等于对应边的平方比”而解题受阻，还有不少学生忘记了一个问题的多值性而发生了错误．

在初二时学习相似三角形、线段成比例有诸多的性质，诸如更比定理、合比定理、分比定理、合分比定理、等比定理等；还有“面积的相似比等于对应边的平方比”都应该熟记．

纠正错误的办法，必须牢记以上谈及的定理和性质，再注意多值性，即能获得完美的答案．