（ 1 ）对称性 教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在 x 轴的上方、下方， y 轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考） 学生：有对称性，关于 x 轴、 y 轴、原点都对称。 教师：正确。那么一般的椭圆 是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？ 学生： A ：（充分讨论后）也有同样的对称性。在 上任取一点 P （ x,y ）则 P 点关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点分别是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点 P 关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。 教师：回答得非常正确。 课件展示对称过程后总结： 所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。做人应向椭圆学习，做一个有心之人。 （ 2 ）顶点 教师：（大屏幕展示 所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？ 学生 B ：与坐标轴有四个交点。 教师：对，一般的椭圆 与坐标轴有几个交点呢？ 学生 B ：同样是四个。 教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与 x 抽的交点分别是 、 ，与 y 轴的交点分别是 、 ） 学生 B ：分别令 x=0,y=0 ，得 (-a,0) 、 （ a,0 ）、 （ 0,-b ） （ 0,b ） . 教师：回答得很好。这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。 及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中 a 、 b 的几何意义。 教师：（根据课件中的图）如果过 、 、分别作 y 轴的平行线，过 、 分别做 x 轴的平行线，则这四条直线将构成 ---- （欲言又止） 学生：一个矩形。 教师：椭圆在矩形 ---- （欲言又止） 学生：内部 教师：正确，这说明了什么？ 学生：有的说有界，有的说有范围。 教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的 、 、 、 的坐标，你能说出 x 、 y 的范围吗？ 学生 C ： -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b. 教师：完全正确。那么你根据方程 研究 x 、 y 的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果） （ 3 ）范围 引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。 学生 D ：由 利用两个实数的平方和为 1 ，结合不等式知识得 ≤ 且 ≤ ，则有 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b. 教师：很好，谁还有不同意见？ 学生 E ：利用三角换元，令 θ， θ，θ∈ R 。由弦函数有界可得范围。 教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？ 学生 F ：从 中解出 ，利用 ≥ 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。 教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？ 此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？ 学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。 教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。 学生 G ：（实物展台展示）由 则 y= ± ，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。 教师： y= ± 是函数吗？ 学生 G ：（思考后）说不是。 教师：怎么处理呢？ 学生 G ：把 y= 和 y=- 分别看作是一个函数。 教师：正确。往下怎么研究呢？ 学生 G ：先求函数 y= 的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 -a ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ b ，同样得 y= 中 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ 0 ，于是得到范围。（课堂响起一片掌声，表示对这位同学的支持、肯定与鼓励）