摘自：《山东省安丘市青云学府》 [ 案例题旨 ] 函数的奇偶性是函数的一个重要性质 , 它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要位置。本案例研究的主要问题有： 1 、函数奇偶性的定义是什么？如何理解？ 2 、如何利用奇、偶函数的定义判断某些简单函数的奇偶性。 3 、若 f1(x) 为 R 上的奇函数， f2(x) 为 R 上的奇函数， g(x) 为 R 上的偶函数， h(x) 为 R 上的偶函数，探究 f1(x).h(x),g(x).f2(x),f1(x).f2(x),g(x).h(x) 的奇偶性。 4 、奇函数，偶函数的图像有何特点？ [ 案例背景 ] 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要 , 如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数 , 则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分 , 就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像 . 本节的学习重点是 : 关于奇函数 , 偶函数概念的理解 , 掌握奇函数偶函数的图像的特点 . 本节课学习目标定为①会用定义法判断简单函数的奇偶性 . ②会用定义探究 f1(x).f2(x)(f1,f2 可能同为奇函数或同为偶函数或一个为奇函数 , 一个为偶函数 ) 的奇偶性 . 片段一 : 师：在定义中 , 都有如果对 D 内的任意一个 x, 必有一个 -x 也在 D 内，这说明了什么？ 生：这说明一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称。 师：回答得很好！同学们再思考一下，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗？ 生：一定不会，这是函数既不是奇函数也不是偶函数，因为失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。 师：下面同学们根据奇函数，偶函数的定义判断下列函数的奇偶性： （ 1 ） f （ x ） =x+1 （ 2 ） f （ x ） =x 2 +1 （ 3 ） f （ x ） =x(x 2 +1) 生：（ 1 ）既不是奇函数也不是偶函数 ; （ 2 ）是偶函数 ;(3) 是奇函数 . 师：完全正确！同学们思考 f(x)=kx+b(k ≠ 0) 有可能是奇函数或偶函数吗？请展开讨论。 生 1 ：有可能是奇函数，如当 b=0 时， f(x)=kx(k ≠ 0) 满足 f(-x)=-f(x) 。 生 2 ：他说的正确，但我认为 f(x)=kx+b(k ≠ 0) 一定不是偶函数，因为 f(-x) ≠ f(x). 师：你们总结的很好，当 b=0 时， f(x)=kx(k ≠ 0) 满足 f(-x)=-f(x) ；当 b ≠ 0 时， f(-x) ≠ f(x) ， f(-x) ≠ -f(x),f(x)=kx+b(k ≠ 0) 既不是奇函数，也不是偶函数。 那同学们再思考 f(x)=ax 2 +bx+c(a ≠ 0) 是否具有奇偶性呢？ 生：可能具有也可能不具有，特别的当 b=0 时， f(x) 是偶函数； b ≠ 0 时既不是奇函数，也不偶函数。 师：好。对于我们熟悉的一次函数 f(x)=kx+b 当 b=0 时为奇函数，否则既不是奇函数，也不偶函数；二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c 当 b=0 时为偶函数，否则既不是奇函数，也不偶函数，希望同学们理解并记住。 师：下面同学们再思考 f(x)=x(x 2 +1) 可看成一个奇函数 y1= ______ 和偶函数 y2= _____ 的乘积？它是奇函数吗？这说明什么？ 生： y1=x,y2=x 2 +1 这说明一个奇函数 g(x) 和一个偶函数 h(x) 的乘积是奇函数 (f(x)=g(x).h(x)) 师：好，那么如果 g(x) 和 h(x) 同为偶函数或奇函数呢？ 生： f(x) 为偶函数。因为 f(-x)=g(-x).h(-x)=g(x).h(x)( 或 f(-x)=-g(x).[-h(x)]=g(x).h(x)) 师：很好。 片段 2 ： 师：奇函数或偶函数的图象有何特点？请同学们作出 y=-2x 和 y=x 2 +1 的图象，并观察有何特点？ 生：奇函数 y=-2x 的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数 y=x2+1 的图象是一条抛物线，顶点是（ 0 ， 0 ）、开口方向向上，且关于 y 轴对称。 师：回答得太棒了！大家再作出 y=4x 和 y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？ 生： y=4x 的图象也是关于原点成中心对称图形； y=x 2 与 y=x 2 +1 的图象一样也关于 y 轴对称。

师：同此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数。师：请同学们思考自学课本 P51 倒数第二段。 生：噢，原来如此。 师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数 y=1/x2 的图象？ 生 3 ：该函数的定义域为（ 0 ， + ∞）∪（ - ∞， 0 ），又是偶函数，只需作出 y=1/x 2 在（ 0 ， +∞ ）上的图象，但我不知该怎样做？ 生 4 ：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。） 生（全体）：真棒！ 师：好。同学们，本节课，我们重点学习奇函数，偶函数的定义，大家在理解定义的基础上，要学会判断一个函数的奇偶性。请大家课后总结定义法判断函数奇偶性的步骤，并探究函数 f(x)= 的奇偶性。 [ 案例后记 ] 本节课是学生应认真学好的一节课，应重点剖析奇函数，偶函数的概念，并会应用。 课堂教学前后分别安排以下练习： 预习： 1 、作出 y= x 3 和 y=x 2 的图象 2 、自学课本 51 页 ~52 页第 3 段，了解主要内容 3 、了解奇、偶函数图象的特点 练习：课本 P53 练习 A1 、 2 [ 教后感 ] 本节课在教学实施的过程中还是遇到了一定的实际困难，有的同学对奇、偶函数的定义感到比较抽象，难于理解；有的同学对奇、偶函数的图象特点的证明思路不够明确。我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性效果会更好些。