建构主义理论指导数学命题教学一例 浙江温州第二高级中学/潘晓雷摘自：《高中数学资源网》[内容摘要]在应试教育向素质教育逐渐过渡的过程中，关键是培养学生的创新能力。用建构观指导数学课堂教学，运用“案例+反思”的实践研究，实实在在地减轻学生的负担、培养学生的创新意识和实践能力。一年来，我们取得了一些成绩，迈出了第一步，信心有了，继续尝试的决心更坚定了。[关键词]建构观、案例反思建构主义认为人的认识不是对于客观实在的被动的反映，而是主体以已有的知识经验为依托所进行的主动建构的过程。因而学习不是学习者被动地接受书本或教师所传授的现成的结论，而是学习者在一定的社会环境下，借助他人的帮助而实现的意义建构的过程。基于这样的观点，建构主义提倡在教师指导下，以学生为中心的教学方式，强调学生是信息加工的主体、知识意义下的主动建构者，教师是建构活动的设计者、组织者和促进者，教师应创设良好的学习环境，形成学生认知冲突，通过“协作”“会话”，充分发挥学生的主观能动性和创造性，从而达到对所学知识的意义建构的目的。本人运用建构主义有关理论谈谈“余弦定理（第一课时）”一课的教学案例与反思。一、课例及设计意图（一）教学目标掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形。创设问题情境，通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、猜想、类比、抽象、概括等逻辑思维能力。在学习中，培养学生主动探索的精神，独立解决问题的能力。（二）教学重点、难点重点：余弦定理的发现和证明。难点：余弦定理的证明。（三）教学方法建构式教学法（四）学生的现状和教材已学好三角函数、平面向量、正弦定理，能运用三角函数、平面向量、正弦定理的知识去解决一些简单问题的高一学生。教材为新人教版教材[高中数学必修第一册（下）（五）教学过程1.创设问题情境问题一：现有皮尺和经纬仪等工具，要测量一山体两底侧A、B两点间的距离（如图）
请你想办法解决？(设计意图：弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通的常识，学生实质上是人们常识的系统化，因而每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。因而，教师可以通过有目的地向学生提供一些生活素材来创设问题情境，引导学生积极主动的思考。）S1:直接测量，达不到目的。用工具经纬仪可以测角……(陷入沉思)T:需要角求边长，有边有角，该放在什么地方?S2:连结AB，在地面上选一点C，构造三角形ABC，用经纬仪测出角ACB=α,在用皮尺测出边长AC=b、BC=a,就可以求AB的长。T:你能肯定这样可以求AB，如何求？S2:根据三角形全等的SAS判定定理，三角形ABC是唯一确定C的，因此AB也唯一。但我不会求。T：刚才S同学的判断是正确的，已知两边夹角，可以求第三边。请大家结合三角形的特点，帮助他把AB的长求出来。S3：适当选位置C，测出α=900，再测出a、b，则AB=
T:很好！复杂问题特殊化。直角三角形是三角形的特殊情况，如果能构造直角三角形，角与边的关系就容易处理。（设计意图：用学生认知结构中已经具备的旧知识去解决新问题时，学生往往缺乏联系，教师适当的引导，启发学生积极寻找新旧知识的生长点，大胆地尝试。通过问题的解决，让学生亲身经历对新知识的“理解”和“消化”的过程，达到认知结构的整合。）问题二：假设使α=900的C点落在山上，你也能解决吗？S4:如S2所说的办法，过B作BC⊥AB,构造Rt△ABC即可。T:由于AB连线被山所挡，故无法作BC,Rt△ABC不能完成。怎么办？S5：如S2所说的办法，构造一般△ABC也行。（设计意图：出现新问题，让学生产生认知冲突，激发学生探知的强烈欲望）
2.特殊到一般，发现定理T：不妨令α=600，a=3，b=4，请大家试一试？(要求学生交流协作，教师巡回指导，间或也参与讨论，适时点拨。经过激烈的讨论后，学生中形成两种有代表性的意见。）S6：过A作BC的高AD，把△ABC分成Rt△ABD和Rt△ACD，则
S7:
T:你们为什么想到这样做呢?S6:前面Rt△能解决,把一般△ABC分成几个Rt△,也应该能解决.S7:正弦定理能解决一般△ABC已知两角一边,两边一角求其他边角的问题.此问题是两边一角求边,所以我就去尝试.T:两位同学都说得很好!不熟悉的问题转化为我们熟悉的去解决,这是化归思想.我们解决问题常常会用到这种思想.T:大家继续思考:既然两边夹角能求第三边，那么第三边的值就可以用两边及夹角来直接表示，你们推倒一下，会怎样？(由前面的成功尝试，同学们的积极性很高，纷纷加入讨论，大胆发表看法)S8:保持已知边及角的原形，由S6可知：AB2=(3sin600)2+(4-3cos600)2=32+42-2*3*4cos600(*)S9:由S7可知:
（设计意图：实现学习活动及其构成也不能单纯看成是个人的进程，而是在于师生、学生间的共同活动，包括一起分析并寻找联系与解答，一起设计与证明，还一起检验与评估其结果。以此，创设一个好的“学习共同体”。）T:两位同学的推导结果是一样的,从中你能发现什么?S10:任何一个三角形的一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。T:你能证明吗？3.定理的证明S10:能。只要把问题一般化，令AC=b,BC=a,∠ACB=α代（*）即可得AB2=a2+b2-2abcosα（**）（证略）T:说得很对！换一个角度,还有其他方法给予证明吗?(待学生思考后,出示问题三:某人在测量AC、CB的长度时，按A-->C,C-->B顺序进行，试问：AC的线段,C→B的线段可以看成什么？S:向量AC,向量CB.T:在△ABC中，你能得出有关向量的恒等式吗？S:
（***）T:能用（***）式证明吗？如果能，需要如何转化？S:要证的（**）是长度等式，而（***）是向量等式。因为
所以
即
（设计意图：学生在学习活动中，认识框架本身也有一个不断发展或建构的过程，特别是，在已有的认知结构无法“容纳”新的对象的情况下，主体就必须对已有的认知结构进行变革使其与客体相适应，即所谓的“顺应”。这一过程，更需要教师的悉心引导，更需要师生、生生的协作和会话，也更能激起学生创造的火花。）T:如果再令AB=c,夹角用∠A,∠B,∠C代替，你还能得出那些等式?S:a2=b2+c2-2bccosA(1)b2=a2+c2-2accosB(2)c2=a2+b2-2abcosC(3)T:类似于正弦定理,给这些式子取一个名字,你觉得呢?S:这些式子中都有余弦,就叫余弦定理吧。T:从余弦定理的式子观察，通过变形，你又得到那些等式？S：
S:在余弦定理中，令C=900，这时cosC=0,所以c2=a2+b2。T:好！由此可知余弦定理是勾股定理的推广。而余弦定理的记忆把握对称性（略）。学好余弦定理后，你能解决三角形中那些问题？S:（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。（2）已知三边，求三个角。4．定理的应用例1在△ABC中，已知a=3,c=2,∠B=1500,解这个三角形。巩固练习课本P153页练习1、2。例2问题四：（如图），在山顶处有一铁塔，铁塔BC部分高27m，从山底下A处到山顶C处的山坡路近似于一条直线，现有直尺和经纬仪等工具，求山高CD.
5.巩固小结掌握化归的思想和特殊到一般的思想方法，学会观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑方法。对事物保持原形，有利于我们更好地发现问题的实质，不失一种好的手段。向量化解题及证明有效、快捷，有时不妨一试。数学来源于现实生活，应用于现实生活。6．作业书P1546、8二、对教学案例的反思余弦定理公式是数学中的重要公式。除了在教学中要求学生能主动推导外，还应充分展示这个公式的实际应用价值。本课的教学过程设计以“实际问题的解决→余弦定理的发现→证明→应用”四个环节，环环相扣，循序渐进。分别用四个问题的提出、分析、解决为依托，让学生知识结构经历“认知冲突→协作析疑→同化顺应→完善结构”的过程。