摘自：《福建高中新课程网》 背景 在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的： 和 ，教材中是通过实例引入并给出定义： 如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。 如果 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 。 当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。 “老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？ 解决策略 当我们重新回忆“ ”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果： 古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究 1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为 x ，既然 ，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为 x ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了 ，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。 那么，“ ”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚： 是一个数，它的平方等于2！由此，“ ”也是一个数，它的 n 次方等于 a ！ 更进一步， 是什么呢？由 知 ，故 也是一个数（对数）， a 的 次方等于 N 。 如此，则 及 便不难理解了。 于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处： （ 1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。 （ 2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。 （ 3）有利于学生的后继学习。 是什么？ i 又是什么？许多符号在后面的学习中都会陆续出现，当学生充分理解根式的意义时，接下来的学习便不会再有困难了。 当然我们更要追问：为什么要引入正分数指数幂？负分数指数幂又是如何定义的？通过对以上问题的认真、深刻思考，我们设计了如下教学课例： 教学设计：《根式与分数指数幂》 一、教学任务分析 〖 知识与技能 〗 （ 1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系； （ 2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 〖 过程与方法 〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖 情感、态度与价值观 〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教材分析 教科书先给出了两个实际例子：国内生产总值（ GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中已学的整数指数幂，也让学生感受其中的函数模型，并且还有思想教育价值；后一个问题，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。 学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到 n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数。

四、教学基本流程 实例 → 根式 → 分数指数幂 → 无理指数幂 五、教学情景设计 第一课时根式 1、问题情境设疑 问题 1 、根据国务院发展研究中心 2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？ 分析 ：设 x 年后我国的 GDP为2000年的 y 倍，那么 。 设疑 ：正整数指数幂 的含义是什么？它具有哪些运算性质？ 问题 2 、当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 ，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡 t 年后，体内碳14含量 P 的值。 例如： 当生物死亡了 5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量 P 分别为 ， ， ，…… 当生物死亡了 6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量 P 分别为 ， ， 。 设疑 ：以上三个数的含义到底是什么呢？ 2、数系的扩充 你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道 10以内的加法题，比如“2+5”，由演员写到黑板上，小狗看到就会“汪汪汪……”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。 我们开始接触数学时，便是从 0、1、2、3、4、……等认识起的，并把它们称作自然数，初步有了“加”的运算：两个自然数相加，仍为自然数。但是，两个自然数相减呢？随着社会的发展，人们又发现了很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西，为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称整数。 一个数连加几次，如 5+5+5+5+5+5，每次书写都挺麻烦的，于是便引入了另一种运算“乘“，连加即为乘，“×”也只是一种记号，其初始含义是连加的意思（ na=a+a+ … +a ）。类似地，连乘记为乘方，即 。两个整数相乘后仍为整数，自然地我们考虑其逆运算“除”，如2÷3，它却不是整数，于是又引入了分数 ，它仍是一个记号：把 n 分成 m 等分。 进一步我们自然地会追问：如果 ，那么 x 是什么呢？如 x 2 =4，由于 ，那么 x 2 =2时， x 等于多少？我们知道存在实数 x ，它的平方等于2，但我们没有办法用有理数表示它，从而便有了根式的概念：用 表示，“ ”是什么呢？它是一个数，它的平方等于2！ 更一般的情况，“ ”是什么呢？ 也是一个实数，它的 n 次方等于 a ，即 ！ 3、根式 （ 1）平方根： ；立方根： 。 （ 2） n 次方根：如果 ，那么 x 叫做 a 的次方根。 类似于平方根与立方根的结论，我们有： 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，记为： 。 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，记为 ； 负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是0。 （ 3）根式： ， n ----根指数， a ----被开方数。 …… 第二课时分数指数幂 1、复习 （ 1）根式的相关概念 （ 2）整数指数幂： 运算性质： 。 问题设疑：如何计算： ？ 分析： ，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？ 问题：能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？ 2、分数指数幂 实例引入： ， 问题： 1、从以上两个例子你能发现什么结论？ 2、 如何表示？ 结论：规定 问题 3、 分析： 如： ， 。 规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 3、有理指数幂的运算性质： 回到前面的问题，则有 ，相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。