课题：设计遮阳蓬（北师大版九年级《数学》下）．

课型：活动课．

一、活动过程：

1 、设置问题情景，引出主题

师：同学们，当夏天的太阳光透过窗户照在你身上的时候，感觉如何？冬天呢？

生：夏天很不爽，冬天就很温暖了。

师：那你想不想试着为窗户设计一个遮阳蓬来解决这个烦恼呢？

生：（齐声）想

师：很好！ [ 大屏幕 ]

我们地处北半球，为了充分地享受阳光的温暖，房屋的窗户大部分朝南，但这给生活在北半球的居民也带来了麻烦，如果在寒冷的冬天，有温暖的太阳光射入室内，人们的心情便会舒畅；如果在酷热的夏天，炙热的太阳光从窗户射入，人们的心情便会因为室内的温度太高而烦躁，于是人们就想到了为该窗户设计一个遮阳蓬，这个遮阳蓬不仅能最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，还要能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内。这得考虑哪些因素呢？

师：大家分成小组，交流自己的想法。

（说明：学生按学业成绩搭配，分成四人一组，共 15 个学习小组）

[ 数学活动 1 ：与同伴交流 ]

镜头一：

第 2 小组四名同学。

生 1 ：太阳光在冬天和夏天与地平面的夹角是不同的。就北半球的居民来说，冬至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大，我觉得遮阳蓬的设计应考虑太阳光与地平面夹角的大小。

生 2 ：遮阳蓬的设计也和窗户的高度有关系。

生 3 ：对，你们两个代表我们发言。

2 、共享交流结果，数学思考

师：谁来说说自己的想法？

生 1 ：我觉得遮阳蓬的设计应考虑太阳光与地平面夹角的大小。

生 2 ：遮阳蓬的设计也和窗户的高度有关系。

生 3 ：还要考虑地处哪个半球……

师：大家都说了自己的想法，很好！下面我们自己来当一次设计者吧。请看：

［大屏幕］

假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为 hcm ，此地一年中正午时刻，太阳

光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β。请你为该窗户设计一个遮阳蓬，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内。（如图）

镜头二：生 1 ：哪儿入手啊？好象很难。

生 2 ：先画图再说（随手画了一个直角三角形）。

生 3 ：不对，把窗户、墙、地面用几何图形先表示出来，再画太阳光线……

说明：学生看着大屏幕，窃窃私语，急不可待的想动手设计。

3 、探索遮阳蓬的设计方案

[ 探索活动 2 ：设计遮阳蓬 ]

师：同学们兴致很高啊，根据下面的问题探索吧。

多媒体演示：

做一做：

把如上左图画成图 2 ，其中 AB 表示窗户（ AB=hcm ）， BCD表示直 角形遮阳 蓬

图 2 图 3

问题（ 1 ）：当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳蓬 BCD 应如何设计？请在图 3 中画图表示。此时 BC 唯一吗？ CD 呢？

师：请同学们在小组内讨论、交流。

镜头三：第 5 小组四名同学：

生 1 ：画太阳光线与地平面的夹角为α，过窗户顶端与底端的太阳光线不平行。

生 2 ：（发现生 1 画的，提醒）画错了。

生 1 ：沉思。

生 2 ：太阳光线应该是平行光线……

生 3 ： BC 和 CD 应该唯一吧？你们看我画的图（拿自己的图给同组 3 同学看），其余同学默默点头表示认可。

教师走过去，笑问：“ 角α与 BC 和 CD 之间的关系是怎样的？”学生似乎明白了什么。

师：哪组同学把你们的情况给大家讲一讲。

（第 12 小组 4 名同学上讲台对着多媒体一边讲解一边展示图形）

生 4 ：当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光

刚好全部射入室内，那么遮阳蓬的边 BD 必须和太阳光平行，

即 BD 边必须和地平面的夹角为α，又因为△ BCD 是直角三角形， CD 平行于地平面，此时只要直角形遮阳蓬∠ BDC= α，就能保证太阳光刚好全部射入室内。如图所示，我们可以注意到对于直角三角形 BCD ，∠ BCD=90 °，只要∠ BDC= α，就能满足条件。

生 5 ：而这样的直角三角形大家知道不是唯一确定的，即 BC 不唯一， CD 当然也不唯一。

师：太阳光与地平面的夹角α、 BC 、 CD 之间的关系怎样呢？

生 6 ： BC 和 CD 虽然不唯一，但 =tan α，是一个定值。

师：很好！同学们请看：（电脑演示：老师用 Z+Z 超级画板动画演示 CD 、 BC 的变化，但角α的大小不变。如上右图）

师：把问题 1 略作改动，请看：

[ 大屏幕 ]

问题（ 2 ）：当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳蓬 BCD 应如何设计？请在图 3 中画图表示。此时 BC 唯一吗？ CD 呢？

师：分组探讨。

（说明：两个同学在黑板上做，过了几分钟，老师开始下一个片段）

镜头四：第 14 小组：

生 1 ：我知道了，把角α换成角β就行了。

生 2 ：不对吧，这次是太阳光不射入室内哟！

生 3 ：对，要仔细读题啊……

师：请在黑板上做的两同学分析设计思路？

生 7 ：（指着黑板上的图）当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光

刚好不射入室内，则太阳光从遮阳蓬的端点 D 射入后，刚

好过 A 点，因为 CD 平行于地平面， DA 与地平面的夹角为

β，则 CD 与太阳光的夹角即∠ CDA 也等于β，只要∠ CDA

= β，太阳光就刚好不射入室内。如图所示，满足条件的 CD

有无数条，因此 CD 是不唯一的， BC 当然也不唯一。

生 8 ：我完全同意生 7 的思路。

师：好！其它组呢？

生：（齐声）同意。

师：同学们想想，把问题 1 和问题 2 合在一起，结果会怎样呢？

多媒体：

问题（ 3 ）：如果要同时满足（ 1 ）（ 2 ）两个条件，那么遮阳蓬 BCD 应如何设计？请在图 3 中画图表示。此时 BC 唯一吗？ CD 呢？你能用含 h 、α、β的关系式分别表示 BC 和 CD 吗？

生 9 ：把（ 1 ）（ 2 ）两个图合在一起就可以了。

生 10 ：老师，我可以在电脑上演示吗？

师：当然可以，请吧。

生 10 ：如果要同时满足条件（ 1 ）（ 2 ），如图所示，（边画图边分析）则∠ BDC= α，∠ ADC= β，又∵ AB=h ， BC 应该是唯一确定的，我们好象在《直角三角形的边角关系》一章中，曾解过这样的问题。

（教室里比较安静，大部分同学微微点头认可）

师：很好，下面就请同学们用含 h ，α，β的关系式表示 BC 。

师生共析：在 Rt △ BCD 中，∠ BDC= α，则 BC=CDtan α 1 。在 Rt △ ACD 中，∠ A DC= β，则 AC=h+BC=CDtan β 2 。把 1 代入 2 得： h+ CDtan α =CDtan β， 解得 CD= 。因此在 Rt △ BCD 中， BC=CDtan α =

4 、知识渗透

议一议：就北半球的一个居民区而言，冬至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大，如果根据上面（ 3 ）中的 BC 和 CD 设计遮阳蓬 BCD ，那么你认为它符合本课题学习一开始提出的要求吗？你能提出进一步的改进意见吗？与同伴进行交流。

师：（对于这一问题，学生可能会有各种各样的看法。教学时应鼓励学生发表自己的看法，并引导学生体会什么是数学建模及数学建模的方法）

生 11 ：我认为上面（ 3 ）中的 BC 和 CD 的设计是符合本课题一开始提出的“遮阳蓬既能最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内”的要求的。因为在北半球，夏至这天正午太阳直射北回归线，北半球是地球温度最高的时候，而冬至这天，正午太阳直射南回归线，北半球的温度最低，是满足条件的。

生 12 ：我认为不符合开始提出的课题，夏至那天，对于我们居住的地区，虽然太阳光与地平面的夹角最大，但那一天，我们这个地方却不是最热的时候，所以最热的时候，太阳光与地平面的夹角不是最大，那么太阳光就会照到室内，那样遮阳蓬就不能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光。

生 13 ：……

5 、享受思维成果

师：本活动你有什么收获？

生 14 ：把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

生 15 ：体会到了数学与生活的密切联系和数学的实际运用价值。

生 16 ：知道了数学建模的方法

……

6 、生活运用

运用今天你所学的知识，实际测量获得α和β的相应数据，然后为我班教室的某一个窗户制作一个遮阳蓬。