湖北省秭归县茅坪中学 Z+Z 课题实验小组 2006 年 6 月

一、设计思路 ：

1 、教学内容的背景

本节内容位于义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）九年级《圆》中切线长与圆的基本计算。由于切线长与圆的半径结合在一起，构造直角三角形，而直角三角形的计算又常常和相似形的知识紧密联系在一起，所以本节知识可以粗略的将初中阶段的比较重要的几何计算贯穿在一起。这也是初中数学知识的一个重难点。在本节课中通过一组习题的动画演示，充分体现了这一点。

2 、学情分析：

(1) 、知识背景：学生在新课单节知识的学习中，已经掌握了直角三角形、相似形、以及与圆有关的简单计算，能利用它们的性质解决简单的实际问题；能将这些知识点综合运用进行简单的计算。

(2) 、预期目标：通过本节的学习，使大部分学生能将单一的知识点整合，提高对于知识的综合运用能力；能使用 Z+Z 软件进行图形动画；在图形的动画和变式训练中感受数学的魅力。

3 、技术背景和对技术的作用分析：

在对知识点的复习中，学生的动手操作是过圆外一点画圆的两条切线，过圆上一点画圆的切线，这样的三条切线和圆组合在一起，就是课本上的一道习题。利用“ Z+Z 智能平台”很容易的将过圆上一点的圆的切线做出一个动画，这样这条直线就会绕着圆心旋转，旋转不同的角度，就会得到不同的几何图形，当运动到圆与三角形相切时，同学们就能直观的感受到图形变化的过程，从而为解决问题带来方便。再运用软件继续动画，当三角形旋转为直角三角形时，出示又一个问题，学生解决起来就比较顺理成章。运用技术中的隐藏和显示按钮，为学生提供一题多解的思路。运用软件，节约了时间，让课的容量大大增加，让学生能更直观的感受图形的变化过程，明确知识的产生和发展，知识间的联系更加紧密，复习的效果明显加强。

二、教学目标：

1 、能运用已有的基础知识，将各个知识点整合，提高综合运用知识的能力。

2 、能利用 Z+Z 软件中的旋转，平移等功能对几何图形进行旋转变化。

3 、知道“圆与三角形”等的组合图形在现实生活中的运用，利用圆的对称美，让学生体会并能发现运动中的“圆与线”的组合图形的美，感知数学美的内涵。

三、重点、难点

重点：知识点的组合。

难点：知识的迁移，变式和综合运用。

四、教学方式：

自主探索，归纳整理，适当点拨，探索创新。

五、教学过程：

1 、交流与探讨：

步骤一：

老师利用 Z+Z 平台演示动手动脑题，让学生在画图中复习知识点。

学生 1 ：我过圆上一点只画出了圆的一条切线，过圆外一点画出了圆的两条切线。

师：很好，看看和老师画的一样吗？（展示智能平台）除了这种画法外，还有没有其他的画法呢？

学生 2 ：有，我把两个图形画在一起。如图一。

图一 图二

师：好。还有其他的画法吗？

学生三：有，我也是把两个图形画在一起，但和图一不一样，演示如图二。

师：很好，看看你们画的三个图形，你们会联想到什么吗？（先观察老师画的图）

学生四：是切线长定理吧。

师：对，你们能回忆起它的具体内容吗？在运用此知识解决实际问题的过程中常会添加怎样的辅助线呢？

生：我们常常要想构造直角三角形。

师：同学们都说得非常好，我们在运用知识解决问题的时候，特别是在复习知识点的时候，要注重全面归纳和整理，这样才能有所提高。

（步骤一旨在通过交流，让学生学会全面归纳和整理知识）

2 、探索解题

步骤二：

知识点的运用：（老师运用 Z+Z 超级画板展示）

师：观察学生二画的图一，老师引出了下面的问题：

学生五：三角形 ABC 的周长就是两条切线长。而∠ DOF 的大小就是 与∠ A 的和等于 180 度。

师：很好，有谁能说出思路吗？（学生逐一说出解题思路）

师：老师将上图中的直线 BC 绕着点 E 在圆上旋转，运动到不同的位置，观察图形的变化，当运动变化到圆是三角形的内切圆时，请同学们解答问

题二。

老师请一位同学到黑板上演示解题思路，其余的同学独立完成。

学生六：老师，我有解此题的简便方法，与黑板上同学的解法比较更简便，

老师比较两种解法，告诉学生解题技巧。

师：将上述题（ 2 ）中过圆上一点 E 的切线继续动画，当运动到三角形 ABC 是直角三角形时，引导学生探索直角三角形内切圆的半径的值。

学生间相互讨论，分小组发表自己的见解，说出自己的思路。

学生七：当∠ C=900 时，四边形 DOCE 是正方形，其内切圆的

半径就是以 C 为顶点的圆的切线长 CE ，即 r=CD=CE=(a+b-c)/2 。

学生八：老师，我们还可以用另一种方法求解。运用面积分割的方法，把△ ABC 分成三个小三角形，则有 S △ BOC + S △ AOB + S △ AOC = （ ar+br+cr ） /2=ab/2,

得出直角三角形内切圆半径的又一种计算方法： r=ab/(a+b+c)

师：请你们讨论两种计算方法的异同，分组取直角三角形的三边加以验证，进一步理解巩固。

师：将题 3 中的直角三角形继续动画，使直角三角形的斜边经过圆心 O ，两条直角边和圆相切，得到一个连续的几何图形，如图所示：

学生可以分组讨论，也可以独立完成，在讨论的过程中会发现，该题很自

然就把直角三角形、圆、平行线分线段成比例和相似的知识联系在一起。

（步骤二旨在通过图形的旋转，变化功能，动画演示直线和圆的各种不同位置关系，从而引出一组不同的变式训练题）

3 、学习 Z+Z 中的动画演示。学生动手演示本节课中一组习题的变化过程。

六、教学反思：

通过本节课的教学，学生对于基础知识点的复习还是掌握的比较好，但在运用知识整合的过程中，部分同学不能独立的完成变式训练中的习题，特别是综合运用学科知识解决问题时，出现的问题比较多。比如在列方程组求切线长的时候，不能优化方程组的解法；在变式训练三，求圆的面积的过程中，寻找解题的途径很多，但能很快找出思路的同学不多，而且在运用相似的知识选择比例式的过程中也出现了不同的错误。因此在复习课中对于学生综合能力的训练还有待加强。在运用 Z+Z 软件演示图形动画的过程中，部分同学不能很清楚的观察到图形的动画过程，主要是因为课件中有几个图形的颜色设置不是很好，投影在屏幕上的时候由于教室内的光线太强，图形看上去就就显得有些模糊。

七、给同行的建议：

在复习本节课的内容之前，最好先引导学生复习一下平行线分线段成比例的有关知识，在教学的过程中，多引导学生动手动脑，相互探讨交流，集思广益，收集归纳并整理学生的解题思路，尽可能让学生自己把每一种思路都展现出来。在变式训练二中，运用面积法求半径，思维跳跃较大，可能学生要思考一会儿。对于基础比较好的学生不用提示，但如果整班基础较差的话，教师可以在超级画板上提示一下辅助线的画法。

在使用课件的时候，要注意有几个顺次隐藏和显示按钮，在处理完问题一后要隐藏，再展示问题二，后面操作一样。在动画的过程中，一组习题是按序排列的，

演示图形变化可以把速度放慢，也可以重复演示，还可以邀请学生演示，这样让学生能清楚直观的感受知识的变化发生的过程。

对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主。既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能立。

八、点评：

这是一节初三数学复习课，这节课充分体现了数学复习课的特点，为我们今后数学复习课的教学提供了一条很好的思路。向隽老师的这节课体现了以下几个特点：

（ 1 ）体现了复习课的教学模式（先练后教，当堂训练）容量大，符合复习课的特点，学生的训练突出，主体性得到了很好的发挥，许多问题是在学生训练 的过程中体现出来的。

（ 2 ）紧密结合我们的课题“ z+z 智能平台在数学教学中的运用”，在本节课的教学实践中得到了充分的体现。由引入作图“过圆上一点作圆的一条切线和过圆外一点作圆的两条切线”，由这三条直线和圆组合构成的一个几何图形。充分运用《 Z+Z 超级画板》的功能，将这个几何图形动画演示，第一次动画的结果得到圆的外切三角形，引出变式训练题一；第二次动画得到直角三角形的内切圆，引出变式训练二；第三次动画使圆与直角三角形的两直角边相切，圆心过斜边的中点，出现问题三。每一次动画的结果都有一个变式训练题相匹配，这样学生在动画的过程中，能直观的感受每一题的变化过程，每一道问题的提出由浅入深，各个层次的学生都有收获。这也正是本节课的亮点所在。

（ 3 ）在解决问题的过程中，注重了学生思维能力的培养。在变式训练二和边变式三中都有学生提出不同的解题思路，注重了一题多解。同时注重了学科知识间的相互渗透。

改进的地方：

（ 1 ）变式训练二教师可以不提示，让学生自己想办法解决。

（ 2 ）在整个动画演示的过程中可以考虑让学生参与，动手操作。从而激发学生的参与意识和学习兴趣。