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If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

二十二. Bohr-Landau 定理 (上)

日历又翻过了一个年头。 不知不觉间， 我们的 Riemann 猜想之旅已经走过了将近一年零两个月。 在这一年多的时间里， 我们介绍了 Riemann ζ 函数的定义及其零点， 介绍了它们与素数分布之间的关联， 也介绍了 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算。 沿着零点计算这一方向， 我们介绍了人们对零点分布的统计研究， 以及由此而发现的零点分布与物理之间出人意料的关联。 这无疑是整个旅程中最令人惊叹的风景， 事实上也正是这一段风景使我萌生了写作这一系列的念头， 从而使得整个旅程成为可能。

看过了这些风景， 现在让我们重新回到纯数学的领地中来。 从纯数学的角度讲， 对一个数学猜想最直接的研究莫过于是寻求它的证明 (或否证)。 可惜的是， Riemann 猜想直到今天也还没有一个得到数学界公认的证明 (或否证)。 因此我们所能介绍的只是数学家们试图逼近 Riemann 猜想 - 或者说逼近 critical line - 的过程。

在前面各节中， 我们曾经介绍过两个具有普遍意义的零点分布结果。 一个是 第五节 中提到的： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0≤Re(s)≤1 的区域内。 这是 Euler 乘积公式 的一个简单推论。 另一个则是 第七节 中提到的： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0<Re(s)<1 的区域 (即 critical strip) 内。 这是在证明素数定理的过程中由 Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 所证明的， 比前面的结果略进一步， 时间是 1896 年。 这两个结果与 Riemann 猜想虽然还相距很远， 但它们是普遍而严格的结果， 适用于所有的零点， 在这一点上远远胜过有关零点的数值计算。

在 Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 之后的第十八个年头，即 1914 年， 数学家们在零点分布的研究上又取得了两个重大进展^[注一]。 取得这两个重大进展的数学家正是我们在旅程 伊始 提到的 Hardy， Bohr 和 Landau。 在本节和 下节 中我们先来介绍 Bohr 与 Landau 的工作， 即 Bohr-Landau 定理。

但是在介绍 Bohr-Landau 定理之前， 让我们先对零点分布的基本对称性做一个简单分析。 我们在 第六篇 的 [注一] 中曾经提到 Riemann ζ 函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的。 具体地讲， 这种一一对应是通过以 s=1/2 (即实轴与 critical line 的交汇点) 为原点的反演对称性实现的。 这种对应性来源于零点与 Riemann ζ 函数非平凡零点重合的函数 ξ(s) 所满足的关系式 ξ(s)=ξ(1-s) (参阅 第五节)。 除了这一反演对称性外， Riemann ζ 函数非平凡零点的分布还满足一个对称性， 那就是关于实轴的反射对称性。 这是由于 ξ(s) 除满足 ξ(s)=ξ(1-s) 外， 还满足一个关系式： ξ(s)=ξ(s) (请读者自行证明)。 由这两个对称性可知 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布相对于 critical line 也具有反射对称性。 这些对称性的存在表明： 要研究零点的分布， 只需研究 critical strip 的四分之一， 即 {Re(s)≥1/2, Im(s)≥0} 的区域就行了。 我们以前介绍过的零点计算就是针对这一区域的， 下面要介绍的 Bohr-Landau 定理的表述也是如此。

Bohr 与 Landau 所证明的是这样一个定理^[注二]：

Bohr-Landau 定理: 如果 |ζ(s)|² 在直线 Re(s)=σ 上的平均值对 σ>1/2 有界， 且对 σ≥σ₀>1/2 一致有界， 则对于任何 δ>0， 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点所占的比例为无穷小。

在进一步讨论之前， 我们先来解释或定义一下定理中所涉及的一些术语。 首先解释一下什么叫做 “|ζ(s)|² 在直线 Re(s)=σ 上的平均值”。 这个平均值是由

来定义的。 这个定义与函数平均值的普遍定义 - 即函数在区间上的积分除以区间的长度 - 是完全一致的。 只不过由于 Re(s)=σ 的长度无限， 因此在定义中涉及一个极限。 此外由于我们真正关心的是 t 很大的区域， 因此积分下限的选择并不重要， 为了避免 ζ(s) 在 s=1 处的极点对定理的表述造成不必要的麻烦， 我们选了一个非零的积分下限。

其次， 什么叫做 |ζ(s)|² 在直线 Re(s)=σ 上的平均值 “对 σ>1/2 有界， 且对 σ≥σ₀>1/2 一致有界”？ “对 σ>1/2 有界” 很简单， 就是说对任何 σ>1/2， 存在常数 T₀ 及 C 使得：

对所有 T>T₀ 成立。 而 “对 σ≥σ₀>1/2 一致有界” 是说对任何 σ₀>1/2， 存在与 σ 无关的常数 T₀ 及 C 使得上式对所有 σ≥σ₀ 及 T>T₀ 都成立。

最后， “位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点所占的比例为无穷小” 指的是位于 {Re(s)≥1/2+δ, 0≤t≤T} 的非平凡零点的数目与位于 {Re(s)≥1/2, 0≤t≤T} 的非平凡零点的数目之比在 T→∞ 时趋于零^[注三]。

二十三. Bohr-Landau 定理 (下)

现在我们对 Bohr-Landau 定理的字面含义已经有了一些了解。 它实质上是在 |ζ(s)|² 的平均值与 ζ(s) 的零点分布之间建立了一种联系。 这种存在于复变函数的模与零点之间的关联并不鲜见， 1899 年 J. L. Jensen 提出的 Jensen 公式 (Jensen's Formula) 就是一例， 它把一个亚纯函数 (Meromorphic Function) 在一个圆域内的零点和极点与函数的模在圆域边界上的性质联系在了一起。 这一公式也正是 Bohr 与 Landau 在证明他们的定理时用到的主要公式。

很明显， 我们感兴趣的是 Bohr-Landau 定理中有关非平凡零点分布的叙述， 即 “对于任何 δ>0， 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点所占的比例为无穷小”。 但是这一叙述是否成立还有赖于 Bohr-Landau 定理的前提， 即 “|ζ(s)|² 在直线 Re(s)=σ 上的平均值对 σ>1/2 有界， 且对 σ≥σ₀>1/2 一致有界” 的成立与否。

幸运的是， 这一前提可以证明是成立的。 为了看到这一点， 我们来分析一个比较简单的情形， 即 σ≥σ₀>1 的情形。 用我们在上文提到的关系式 ξ(s)=ξ(s)， 及 σ>1 时 ζ(σ+it) 的级数展开式 Σ_nn^-σ-it 可得：

|ζ(σ+it)|² = ζ(σ+it)ζ(σ-it) = Σ_nΣ_mn^-σ-itm^-σ+it。

另一方面， 由于 σ≥σ₀>1 时 ζ(s) 在 s=1 处的极点对计算没有影响， 因此我们可以将 |ζ(σ+it)|² 的平均值定义中的积分下限取为 -T (相应的将 1/(T-1) 改为 1/(2T)) 以利于计算积分 (这里再次用到了 ξ(s)=ξ(s))。 将上面有关 |ζ(σ+it)|² 双重求和表达式代入平均值的定义， 并先交换积分与求和的顺序， 再交换求和与极限 T→∞ 的顺序 (请读者自行证明这样做的合理性)， 可以发现只有 m=n 的项才对结果有贡献， 而它们的贡献一致收敛于 Σ_nn^-2σ=ζ(2σ) (请读者自行证明)。 这表明对所有 σ≥σ₀>1 Bohr-Landau 定理中的前提都是成立的。

显然这样的简单证明不适用于 σ≤1 的情形 (因为 ζ(σ+it) 的级数展开式不再适用)， 但我们可以注意到证明结果中的 ζ(2σ) 对所有 σ>1/2 都有意义。 因此读者们也许会猜测这一结果的适用范围可以由 σ≥σ₀>1 拓展到 σ≥σ₀>1/2。 事实也正是如此。 可以证明， 对于任何 σ₀>1/2 及 ε>0， 存在与 σ 无关的常数 T₀ 使得：

对所有 σ≥σ₀ 及 T>T₀ 都成立。 这一结果显然表明 (请读者自行证明) Bohr-Landau 定理中的前提成立。 这一点在 Bohr-Landau 定理之前就已经被证明， 并出现在 1909 年出版的 Landau 的名著 《素数分布理论手册》 中。

既然前提成立， 那么 Bohr-Landau 定理的结论也就成立了。 这样我们就得到了继 Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 之后又一个有关零点分布的结果： 对于任何 δ>0， 位于 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零点所占的比例为无穷小。 或者换句话说， 在包含 critical line 的无论多小的带状区域中都包含了几乎所有的非平凡零点。

看到这里， 有些读者也许会问： 既然包含 critical line 的无论多小的带状区域都包含了几乎所有的非平凡零点， 那么通过将这个带状区域无限逼近 critical line， 我们是不是就可以把那些零点 “逼” 到 critical line 上， 从而证明几乎所有的非平凡零点都落在 critical line 上呢？ 很遗憾， 我们不能。 事实上单单从 Bohr-Landau 定理所给出的描述中我们不仅无法证明几乎所有的非平凡零点都落在 critical line 上， 甚至无法证明哪怕有一个零点落在 critical line 上！ 零点的分布完全有可能满足 Bohr-Landau 定理所给出的描述， 却没有一个真正落在 critical line 上 (请读者想一想这是为什么)。 这是数学中与无穷有关的无数微妙细节中的一个。

但尽管如此， Bohr-Landau 定理对非平凡零点分布的描述比十八年前 Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 所证明的结果还是要强得多。 它虽然没能直接证明 critical line 上有任何零点 (Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 的结果也同样不能证明这一点)， 但它非常清楚地显示出了 critical line 在非平凡零点分布中的独特地位， 即 critical line 起码是 Riemann ζ 函数非平凡零点的汇聚中心。 这是一个沉稳而扎实的进展， 数学家们正在一步步地逼近着 critical line。