If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

二十八. Levinson 方法

Selberg 的临界线定理表明 critical line 上的非平凡零点所占比例大于零。 那么这个比例的究竟是多少呢？ Selberg 在论文中没有给出具体的数值。 据说他曾经计算过这一比例， 得到的结果是 5%-10%^[注一]。 另外， 牛津大学曾有一位学生在博士论文中计算过这一比例， 得到了一个很小的数值。 这些结果或是太小， 或是没有公开发表， 在数学界鲜有反响。 总的来说， Selberg 的结果更多地是被视为是一种定性的结果 - 即首次证明了位于 critical line 上的零点占全体非平凡零点的比例大于零。

有关这一比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的进展。 这一进展是由美国数学家 Norman Levinson (1912-1975) 做出的。 Levinson 小时候家境非常贫寒， 父亲是鞋厂工人， 母亲目不识丁且没有工作， 但他在十七岁那年成功考入了著名的高等学府麻省理工学院 (Massachusetts Institute of Technology - MIT)。 在 MIT 的前五年， Levinson 在电子工程系就读， 但他选修了几乎所有的数学系研究生课程， 并得到著名数学家 Norbert Wiener (1894-1964) 的赏识。 1934 年 Levinson 转入数学系， 这时他的水平已完全具备了数学博士的资格。 于是 Wiener 帮他申请了一笔奖学金， 让他去 Hardy 所在的剑桥大学访问一年。 次年 Levinson 返回 MIT， 立即拿到了博士学位。 Levinson 在学术生涯的早期先后经历了美国的经济大萧条及麦卡锡主义 (McCarthyism) 的盛行， 几次面临放弃学术研究的境况， 但最终还是幸运地度过了难关。

Levinson 在 Fourier 变换、 复分析、 调和分析、 随机分析、 非线性微分及积分方程等领域都做出过杰出的贡献。 他二十八岁时就在美国数学学会出版了有关 Fourier 变换的专著， 这通常是资深数学家才有机会获得的殊荣； 他在非线性微分方程领域的工作于 1953 年获得了美国数学学会每五年颁发一次的 Böcher 奖； 他 1955 年完成的著作 《常微分方程理论》 一出版就成为这一领域的经典著作。 但他最令世人惊叹的则是在年过花甲， 生命行将走到尽头的时侯忽然在 Riemann 猜想的研究中获得了重大突破， 给出了 critical line 上零点比例的一个相当可观的下界估计。

Levinson 对零点比例的研究采取了与 Hardy、 Littlewood 及 Selberg 十分不同的方法。 他的基本思路来源于 ζ(s) 与其导数 ζ'(s) 的零点分布之间的关联。 早在 1934 年， A. Speiser 就曾证明过 Riemann 猜想等价于 ζ'(s) 在 0<Re(s)<1/2 上没有零点。 1974 年 Levinson 与 Montgomery 合作证明了 Speiser 结果的一个定量版本， 那就是 ζ'(s) 在 {-1<Re(s)<1/2, T₁<Im(s)<T₂} 内的零点数目与 ζ(s) 在 {0<Re(s)<1/2, T₁<Im(s)<T₂} 内的零点数目之比渐近于 1。 有了这一结果， 人们就可以通过研究 ζ'(s) 的零点分布得到有关 ζ(s) 在 critical line 上的零点数目的信息^[注二]， 这正是 Levinson 所做的。 与上述结果的发表同年， Levinson 通过这种方法得到了对 critical line 上零点比例的估计。

Levinson 的计算在刚开始的时侯给出了一个非常乐观的结果： 98.6%！ 他把自己的一份手稿交给了同事 Gian-Carlo Rota (1932-1999)， 并且幽默地宣称自己可以把这个比例提高到 100%， 但他要把剩下的 1.4% 留给读者去做。 Rota 信以为真， 便开始传播 “Levinson 证明了 Riemann 猜想” 的消息。 这很快被证明是一个双重错误： 首先， 在 Levinson 的方法中， 即使真的把比例提高到 100%， 也不等于证明了 Riemann 猜想 (请读者结合 [注四] 思考一下这是为什么？)； 其次， 很快就有人在 Levinson 的证明中发现了错误。 幸运的是， 这一错误并没有彻底摧毁 Levinson 的努力， 只不过那个奇迹般的 98.6% 掉落尘埃变成了 34%。 Levinson 最终把自己论文的标题定为： “Riemann Zeta 函数超过三分之一的零点位于 σ=1/2”^[注三]。 如果我们用 N₀(T) 表示 critical line 上区间 0<Im(s)<T 内的零点数目， 而 N(T) 表示 critical strip 上区间 0<Im(s)<T 内的零点数目 (这也就是满足 0<Im(s)<T 的全部非平凡零点的数目)， 则 Levinson 的结果可以表述为^[注四]：

Levinson 临界线定理: 存在常数 T₀>0， 使得对所有 T>T₀， N₀(T) ≥ (1/3) N(T)。

Levinson 的这一结果是继 Selberg 之后在这一领域中的又一个重大进展， 它不仅为 critical line 上的零点比例给出了一个相当可观的下界， 更重要的是， Levinson 的这种把 ζ(s) 与 ζ'(s) 的零点分布联合起来进行研究的方法 - 被称为 Levinson 方法 - 为许多后续研究奠定了基础。

二十九. 艰难推进

运用 Levinson 方法进行零点研究的第一个后续工作是由他本人做出的。 1975 年 - 即紧接着上述研究的那一年 - Levinson 把 critical line 上零点比例的下界估计提高到了 0.3474。 这虽然是一个很小的推进， 但这种计算每一个都异常繁复， 而 Levinson 当时的身体状况已经极差， 他能够完成这样的计算委实是一个奇迹。 事实上那已是他生命中的最后一个年头， 那一年的十月十日 Levinson 因患脑瘤在他的学术故乡波斯顿 (Boston - MIT 所在地) 去世。

在 Levinson 之后， 数学家们艰难地推进着 Levinson 的结果， 但速度极其缓慢。 1980 年中国数学家楼世拓与姚琦证明了 N₀(T) ≥ 0.35 N(T)； 三年后 Brian Conrey 证明了 N₀(T) ≥ 0.3685 N(T)。 这些都是在小数点后的第二位数字上做手脚， 1989 年 Brian Conrey 终于撼动了小数点后的第一位数字， 他把比例系数提高到了 0.4， 即：

Conrey 临界线定理: 存在常数 T₀>0， 使得对所有 T>T₀， N₀(T) ≥ (2/5) N(T)。

这是迄今为止数学家们在这一方向上获得的最好结果。 Conrey 认为自己的证明还有改进的空间， 但计算实在太过复杂， 不值得花费时间了。 他的说法是： 如果可以把估计值提高到 50% 以上， 那就值得去做， 因为那样的话人们至少可以说大部分零点都在 critical line 上。 可惜 Conrey 认为他的证明能够改进的幅度不会超过几个百分点， 不可能达到 50%。 目前数学家们普遍认为用 Levinson 方法不可能把对 critical line 上零点比例的下界估计推进到 100%。

虽然数学家们在推进 critical line 上零点比例的下界估计时进展缓慢， 但在这一过程中他们也得到了许多相关的结果。 这其中很重要的一类结果是关于简单零点在全部非平凡零点中所占比例的。 数学家们普遍猜测， Riemann ζ 函数所有的零点都是简单零点^[注五]， 这被称为简单零点假设 (Simple Zero Conjecture)， 它是一个迄今尚未得到证明的命题。 简单零点假设也得到了许多数值及解析结果的支持。 1979 年 D. R. Heath-Brown 对 Levinson 方法做了改进 (Selberg 也做了同样的工作， 但没有发表)， 使之给出的比例变成有关简单零点的比例， 从而把 Levinson 1975 年的结果转变成至少有 34.74% 的非平凡零点位于 critical line 上， 并且都是简单零点。 类似地， Conrey 临界线定理指的也是至少有 2/5 的非平凡零点位于 critical line 上， 并且都是简单零点。 除此之外， 由于简单零点假设通常与 Riemann 猜想联系在一起， 有时甚至被视为是 Riemann 猜想的一部分， 因此也有一些数学家研究了在传统的 Riemann 猜想成立 - 即所有非平凡零点都位于 critical line 上 - 的前提下简单零点在非平凡零点中所占的比例。 比如 Montgomery 在 1973 年证明了如果 Riemann 猜想成立， 则至少有 2/3 的非平凡零点是简单零点。

除了对 Riemann ζ 函数的零点进行研究外， 数学家们对与之关系密切的 ξ 函数 (参阅 第五节) 及其导数的零点分布也作了研究。 比方说 Conrey 1983 年的结果针对的实际上是 ξ(s) 及其各阶导数， 他所得到的主要结果为：

• ξ(s) 的零点至少有 36.85% 在 critical line 上。
• ξ'(s) 的零点至少有 81.37% 在 critical line 上。
• ξ''(s) 的零点至少有 95.84% 在 critical line 上。
• ξ'''(s) 的零点至少有 98.73% 在 critical line 上。
• ξ''''(s) 的零点至少有 99.48% 在 critical line 上。
• ξ'''''(s) 的零点至少有 99.70% 在 critical line 上。

不仅如此， 他还给出了有关高阶导数的渐近结果^[注六]。 这其中 ξ(s) 的零点由于恰好与 ζ(s) 的非平凡零点重合 (参阅 第五节)， 因此 Conrey 有关 ξ(s) 零点的结果便是我们前面提到的 N₀(T) ≥ 0.3685 N(T)。 从 Conrey 的结果中我们看到， 有关 ξ(s) 各阶导数的结果远比有关 ξ(s) 本身的结果强得多， 因此如果有什么办法能象 Levinson 在 ζ(s) 与 ζ'(s) 之间建立的关联那样把有关 ξ(s) 各阶导数的结果转化为有关 ξ(s) 本身的结果 (从而也就是有关 ζ(s) 的结果) ， 那将对 critical line 上的零点估计产生突破性的影响。 Levinson 在临终前曾认为自己有这样的办法， 可惜他很快去世了， 而迄今为止谁也没能找到这种办法。 但即便如此， Conrey 对 ξ(s) 各阶导数的零点分布的研究依然是很有意义的， 因为可以证明： 如果 Riemann 猜想成立， 则 ξ(s) 及所有各阶导数的零点都必定位于 critical line 上。 换句话说， 只要发现 ξ(s) 及其任意阶导数的任何一个零点不在 critical line 上， 就等于否证了 Riemann 猜想， 因此 Conrey 的结果可以被视为是对 Riemann 猜想很有力的间接证据。

三十. 哪里没有零点？

读者们也许注意到了， 我们在前面各节中介绍的有关零点分布的解析结果沿袭着一条共同思路， 那就是尽可能地捕捉位于 critical line 上的零点。 从 Bohr-Landau 定理确立 critical line 是零点分布的汇聚中心， 到 Hardy 定理确立 critical line 上有无穷多个零点， 到 Hardy-Littlewood 定理确定该 “无穷多” 最起码的增长方式， 到各种临界线定理确定 critical line 上零点比例的下界， 到有关简单零点的类似结果， 到 ξ(s) 及各阶导数在 critical line 上零点比例的下界， 所有这些努力都是在试图捕捉与 critical line 上的非平凡零点有关的性质。

这样的思路是非常合理的， 因为 Riemann 猜想说的就是所有的非平凡零点都位于 critical line 上。 如果我们能在 critical line 上把所有的零点一一 “捉” 到， 自然就证明了 Riemann 猜想。 但是， 正如我们在这个漫长系列中所看到的， 捕捉零点是一件极其困难的事情， 这么多年来我们在 critical line 上捕捉到的零点数目还不到总数的一半。 在这种情况下， 我们不妨换一个角度来思考问题： 既然我们还无法证明所有的零点都位于 critical line 上， 那何不先试着排除掉某些区域呢？ 排除掉的区域越多， 零点可以遁形的地方也就越少， 这就好比是侦探寻找罪犯时把无关的人员排除得越干净， 也就越有利于锁定罪犯。 如果我们可以把 critical line 以外的所有区域 - 即 Re(s)<1/2 与 Re(s)>1/2 - 全部排除掉， 也同样就证明了 Riemann 猜想。

遗憾的是， 在这方面数学家们获得的进展比直接捕捉零点还要少得多， 简直可以说是少得可怜。 从排除区域的角度上讲， 最先被排除的是 Re(s)<0 及 Re(s)>1， 这是非常简单的结果 (参阅 第五节)。 接着被排除的是 Re(s)=0 及 Re(s)=1， 这是非常困难的结果， 它直接导致了素数定理的证明 (参阅 第七节)， critical strip 的概念也由此产生。 这些结果距今都已经超过一百年了， 那么在时隔这么多年之后我们是否有能力把这种结果再推进一点， 比方说把 critical strip 的右侧边界由 Re(s)=1 向左平移为 Re(s)=1-ε (ε>0)， 从而把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉呢^[注七]？ 不幸的是， 我们还没有这个能力。 无论把 ε 取得多小， 一百多年来也始终没人能够把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉。 迄今为止， 数学家们所能证明的只有诸如 critical strip 之内曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] (c>0) 右侧的区域内没有非平凡零点之类的结果^[注八]。 由于曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] 在 Im(s)→∞ 时无限逼近于 Re(s)=1， 因此我们无法利用这一结果将 critical strip 的右侧边界向左平移哪怕一点点。